研究内容
低次元トポロジー,特に結び目理論を研究しています。 その他,多様体論・グラフ理論など。
(Pre)prints と papers は ここです。
2012年
$\Delta$ unknotting number one で unknotting number one knot の結び目を解く箇所の関連性について.
http://www.math.chs.nihon-u.ac.jp/~ichihara/Knots2010/Proceeding/Uchida.pdf
ユニバーサル結び目
ある結び目で, すべての向き付け可能な閉3次元多様体が分岐被覆空間として表現できます。
この様な結び目をユニバーサルという。 どのような結び目が,ユニバーサルになるかを修士のときに調べた。
しかし,現在何も研究していない。ただ,この時に勉強した two-brigde knot
の表現はそのあとよく使っているし, この研究が結び目解消トンネルに結びつくことになる。
予想:finure eight knot (8の字結び目) 二つの連結和はuniversal knot でない。
たぶん、$S^3$ が$n(\not=1)$重分岐被覆空間として得られないだろう。 もし、解決できたら教えて下さい。
結び目解消トンネル
結び目の補空間に,トンネルをあけてハンドル体を作る。結び目により トンネルの形などが決まってくる。
このトンネルを結び目解消トンネル(unknotting tunnel) という。
結び目解消操作
結び目の交叉点で結び目の上下を入れ替えることを 繰り返すとそのうちに結び目はほどけます。
この様な操作を結び目解消操作という。
リボン結び目
1-fusion リボン結び目のリボン表示の同値類について考察している。
問題:n-fusion ribbon knot の同値類について考察せよ。
Two-brige knots の結び目解消操作
結び目解消操作の一般化を考えtwo-bridge knotで 結び目解消数が1となる物を考えた。
予想:two-bridge knot with $\Delta$-unknotting number one は次のもの。
$C(a_0,a_1,....,a_n,1,1,1,1,1,1,-a_n,...,-a_1)$.
(阪大 中村氏?)
現在は結び目解消操作数1の結び目(unknotting number one knot) と周期的結び目との関係を主に調べています。
周期を与える軸との絡み数が2以上で周期が5(くらい)以上だと、結び目解消数は1ではないと思っていますが、どうなんでしょうか?
あと、ダブルトーラス結び目と結び目解消トンネルとの関係、結び目の Determinant
と彩色数の関係
なども考えています.
2002年2月: 3-bridge knot の3彩色に対応するレンズ空間の決定問題に光が見えてきた.東北大学での研究集会で考えていました.うまくいけば3月中に解けそうです.
3-braid と違いかなりややこしかったなぁ.
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